DAFTAR
ISI
HALAMAN
JUDUL.................................................................. i
DAFTAR
ISI.............................................................................. ii
BAB
I PENDAHULUAN
A. LATAR
BELAKANG........................................................... 1
B. RUMUSAN
MASALAH....................................................... 1
C. TUJUAN............................................................................... 1
BAB
II PEMBAHASAN
A. PENGERTIAN
BILANGAN BULAT................................... 2
B. SIFAT
DASAR BILANGAN BULAT.................................. 2
C. PENJUMLAHAN
BILANGAN BULAT............................... 4
D. PENGURANGAN
BILANGAN BULAT.............................. 4
E. PERKALIAN
BILANGAN BULAT...................................... 5
F. PEMBAGIAN
BILANGAN BULAT..................................... 6
G. PEMANGKATAN
BILANGAN BULAT............................. 7
BAB
III PENUTUP
A. KESIMPULAN..................................................................... 8
B. SARAN................................................................................. 8
DAFTAR
PUSTAKA ............................................................... 9
BAB
I
PENDAHULUAN
A. LATAR
BELAKANG
Bilangan pada awalnya dipergunakan untuk
mengingat jumlah. Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk
menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau
bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk
simbol.
Orang yang mahir matematika bukan
berarti karena kebetulan. Untuk menguasai materi matematika disyaratkan
mengetahui dan menguasai kajian dasarnya. Selanjutnya dia sering berlatih
dengan soal-soal yang berkaitan dengan apa yang sedang diperlajarinya salah
satu disiplin ilmu ini. Oleh karena itu untuk memenuhi tuntutan tersebut, dalam
makalah singkat ini dicantumkan uraian singkat tentang bilangan bulat. Bilangan
bulat banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, contohnya untuk menentukan
kedalaman laut, jika kita mengatakkan 20 m dibawah permukaan laut maka kita
tulis -20 m.
B.
RUMUSAN MASALAH
1.
Apa sajakah sifat dasar bilangan bulat?
2.
Bagaimana operasi-operasi pada bilangan bulat?
C. TUJUAN
1.
Agar siswa dapat memahami sifat dasar pada bilangan bulat
2.
Agar dapat mengetahui operasi-operasi pada bilangan bulat
BAB II
PEMBAHASAN
A. PENGERTIAN BILANGAN BULAT
Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan
negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4… sehingga
negative dari bilangan cacah yaitu -1,-2,-3,-4…. Dalam hal ini -0 = 0 maka
tidak dimasukkan lagi secara terpisah
Himpunan
semua bilangan bulat terdiri atas:
1. Bilangan bulat positif atau bilangan asli, yaitu
(1,2,3,4,5,…)
2. Bilangan bulat nol, yaitu 0
3. Bilangan bulat negative, yaitu (-1,-2,-3,-4,-5,…)
B. SIFAT
DASAR BILANGAN BULAT
Menurut Muh. Arif Tiko dkk (teori
Bilangan, 2008:111) mengatakan bahwa sifat dasar bilangan bulat dimulai dengan
definisi adalah cara formal untuk menjelaskan suatu pengertian dalam
matematika. Jika n bilangan bulat, maka – n didefinisikan tunggal sehingga n+
(n)= (-n) + n= 0.
Himpunan bilangan bulat adalah gabungan
dari himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan asli sehingga untuk setiap
bilangan bulat n berlaku sifat n + (n) = (-n) + n = 0. Jadi himpunan bilangan
bulat dapat ditulis dalam bentuk daftar sebagi Z = . bilangan bulat jika
digambarkan dalam garis bilangan :
Sifat berlaku dalam
himpunan bilangan bulat akan dibicarakan lebih terperinci sebagai berikut :
1.
Sifat Tertutup
a) Sifat
tertutup terhadap penjumlahan ada dengan tunggal yakni untuk setiap a dan b di
dalam Z maka (a + b) juga di dalam Z
b) Sifat
tertutup terhadap perkalian ada dengan tunggal, yakni untuk setiap a dan b didalam
Z maka a x b juga ada didalam Z
2. Sifat
Komutatif
a) Sifat
komutatif perjumlahan yaitu untuk setiap a dan b didalam Z berlaku a + b = b +
a.
b) Sifat
komutatif perkalian yaitu untuk setiap a dan b didalam Z berlaku a x b = b x a.
3. Sifat
Asosiatif
a) Sifat
asosiatif terhadap penjumlahan yaitu untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c
berlaku sifat (a + b) + c = a + (b + c)
b) Sifat
asosiatif terhadap perkalian yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c
berlaku (a x b) x c = a x (b x c)
4. Sifat
Distributif
a) Sifat
distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan, yaitu untuk sembarang bilangan
bulat a, b dan c berlaku sifat a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
b) Sifat
distributif kanan perkalian terhadap jumlah yaitu untuk sebarang bilangan bulat
a, b, dan c berlaku sifat (a + b) x c = (a x c) + (b x c)
5. Unsur
Identitas Penjumlahan
Untuk
setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a = a sehingga 0 disebut
unsur identitas penjumlahan
6. Unsur
Identitas Perkalian
Untuk
setiap bilangan bulat a, ada dengan tunggal bilangan bulat 1 sehingga a x 1 = 1
x a = 1 sehingga satu disebut unsur identitas perkalian.
Sifat
kesamaan berikut penting untuk diketahui :
a. Refleksi
yaitu setiap bilangan bulat a berlaku a = a
b. Simestris
yaitu jika a = b maka b = a untuk sembarang bilangan bulat a, dan b
c. Transitif
yaitu jika a = b dan b = c untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c.
d. Substitusi
yaitu jika a = b maka dapat disubstitusikan untuk a, dalam suatu pernyataan
tanpa merubah nilai dari pernyataan tersebut.
C. PENJUMLAHAN
BILANGAN BULAT
1. Sifat-sifat
penjumlahan
a. Sifat
asosiatif : ( a + b) + c = a + (b + c)
Contoh : (5+3) + 4 = 5
+ (3 + 4) = 12
b. Sifat
komutatif : a + b = b + a
Contoh : 7 + 2 = 2 + 7
= 9
c. Unsur
identitas terhadap penjumlahan
Bilangan nol (0)
disebut usur identitas atau netra terhadap penjumlahan a + 0 = 0 + a
Contoh : 6 + 0 = 0 + 6
d. Unsur
invers terhadap penjumlahan
Invers jumlah (lawan)
dari a adalah –a
Invers jumlah (lawan)
dari –a adalah a
a + (-a) = (-a) + a
contoh : 5 + (-5) = (-5)
+ 5 = 0
e. Bersifat
tertutup
Apabila dua buah
bilangan bulat ditambahakan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga. a dan b
bilangan bulat maka a + b = c ; c bilangan bulat.
Contoh : 4 + 5 =9 ;
4,5,9 bilangan bulat.
D. PENGURANGAN
BILANGA BULAT
1. Sifat-sifat
pengurangan Bilangan Bulat
Bilangan bulat a
dikurangi bilangan bulat sama artinya dngan bulat a ditambakan dari lawan
bilangan bulat, atau dapat ditulis a – b = a + (-b)
pengurangan bilangan
cacah tiak bersifat tertutup, artinya bila suatu bilangan cacah dikurangkan
dengan bilangan cacah lain, hasilnya belum tentu bilangan cacah.
Pengurangan
bilangan cacah (a-b) menghasilkan bilangan cacah hanya jika a b. Tetapi,
pengurangan bilangan bulat adalah sebagi berikut :
1. Untuk
sembarang bilangan bulat berlaku :
a – b = a + (-b)
a – (-b) = a + b
contoh :
8 – 5 = 8 + (-5) = 3
7 – (-4) = 7 + 4 =11
2. Sifat
komutatif dan asosiatif tidak berlaku
a – b ≠ b – a
(a – b ) – c ≠ a – ( b – c )
Contoh :
7 – 3 ≠ 3 -7
4 ≠ - 4
(9 – 4) – 3 ≠ 9 – (4-3) 2 ≠ 8
3. Pengurangan
bilangan nol mempunyai sifat :
a – 0 = a dan 0 – a =
-a
4. Bersifat
tertutup yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan hasilnya adalah
bilangan bulat juga : a dan b ∈
bilangan bulat maka a – b = c ; c ∈
bilangan bulat.
Contoh :
7 - 8 = -1 à 7, 8, -1 ∈ bilangan bulat.
E. PERKALIAN
BILANGAN BULAT
1. Sifat-sifat
perkalian bilangan bulat
a. Untuk
sembarang bilangan bulat berlaku :
a
x b = ab à hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat
positif.
Contoh:
7 x 6 = 6 x 7 = 42
a
x –b = -ab à hasil pekalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya adalah
bilangan bulat negatif.
Contoh
: 3 x -4 = -12
-a
x -b = ab à hasil perkalian dua bilangan negatif adalah bilangan bulat positif.
Contoh
: -4 x -5 = 20
2. Sifat
Asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c)
Contoh
: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = 24
3. Sifat
komutatif : a x b = b x a
Contoh
: 5 x 4 = 4 x 5 = 20
4. Sifat
Distributif : a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
Contoh
: 3 x (2 + 6) = ( 3 x 2) + (3 x 6) = 24
5. Unsur
Identitas Untuk Perkalian
a) Hasil
perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol : a x 0 = 0
b) Hasil
perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga : a x
1 = 1 x a = a
6. Bersifat
Tertutup
Jika
dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga a x b = c
; a, b, c ∈
bilangan bulat
F.
PEMBAGIAN
BILANGAN BULAT
1.
Sifat-sifat
Bilangan Bulat
Jika a,b, dan c bilangan bulat dengan b 0, maka a÷b=c
jika dan hanya jika a= b x c
Hasil bagi bilangan bulat (a ÷ b) merupakan suatu
bilangan bulat jika dan hanya kelipatan dari b, sehingga untuk settiap bilangan
bulat a dan b hasil bagi (a ÷ b) tidak selalu mrupakan bilangan bulat. Karena
itu, pembagian bulat tidak bersifat tertutup. Sifat-sifat pembagian bilangan
bulat adalah sebagai berikut:
a.
Hasil bagi dua
bilangan bulat positif adalah bilangan positif
(+) ÷ (+) =
(+)
Contoh:
8÷2=4
b.
Hasil bagi dua
bilangan bulat negative adalah bilangan positif
(-) ÷ (-) =
+
Contoh:
(-10) ÷ (-5) = 2
c.
Hasil bagi dua
bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negative
(+) ÷ (-) =
(-)
(-) ÷ (+) =
(-)
Contoh: 6 ÷
2 = 3
d.
Hasil bagi
bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi
a ÷ 0 à
tidak terdefinisi (~)
0 ÷ a à 0
(nol)
Contoh: =~
(tidak terdefinisi)
e.
Tidak berlaku
sifat komutatif dan asosiatif
a ÷ b ≠ b : a
(a÷b) ÷c ≠a÷ (b ÷c)
G.
PEMANGKATAN
BILANGAN BULAT
Definisi:
an = a x a x a x…x a
sejumlah n factor
Contoh: 43 = 4 x 4 x 4 = 64
35 = 3 x 3 x
3 x 3 x 3 = 243
1. Akar kuadrat (akar pangkat dua)
bilangan kuadrat adalah suatu perkalian
Contoh:
2^2
= 2 x 2 = 4
4^2 = 4 x 4 = 16
10^2 = 10 x 10 = 100
4^2 = 4 x 4 = 16
10^2 = 10 x 10 = 100
2. Akar kubik ( akar pangkat tiga)
2^3 = 2 x 2 x 2 = 8
5^3 = 5 x 5 x 5 = 125
BAB III
PENUTUP
A.
PENUTUP
Himpunan
bilangan bulat adalah gabungan dari himpunan bilangan cacah dan himpunan
bilangan bulat negative. Sifat- sofat pada bilangan bulat adalah sifat
tertutup, sifat komutatif, sifat asosiatif, sifat distributive dan adapula
unsur identitas penjumlahan dan perkalian. Operasi-operasi pada bilangan bulat
yaitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
Definisi
relasi “lebih kecil dari” pada bilangan-bilangan cacah, dan telah membuktikan
sifat-sifatnya. Berikut ini, kita akan mempelajari relasi urutan
bilangan-bilangan bulat. Ada beberapa definisi yaitu:
1.
Jika a dan b
bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b (dinyatakan dengan a ˂ b)
2.
Jika a dan b
bilangan-bilangan bulat, a lebih besar dari b (dinyatakan dengan a ˃ b)
B.
SARAN
Sebagai
calon pendidik dibidang Matematika, hendaknya kita dapat mengetahui tentang
teori bilangan terutama mengenai sifat dan operasi bilangan bulat serta urutan
bilangan bulat dalam garis bilangan. Sehingga dengan begitu sebagai calon
pendidik tahu secara umum mengenai teori bilangan
DAFTAR PUSTAKA
Astuty,
B. (2009). Ayo Belajar Matematika. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.
http://articlesgenius.wordpress.com/2013/03/16/macam-macam-bilangan-dalam-matematika/
www.scribd.com (di akses Rabu,12 November 2014)
Darwis,
Muhammad. 2016. Analisis Kesalahan Siswa Pada Operasi Hitung Campuran Bilangan
Bulat dan Alternatif Pemecahannya. Vol 4
(39-40)